Question

【題目】已知，如圖，在三角形中，，于，且．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，過點(diǎn)的動(dòng)直線，交于點(diǎn)，連結(jié)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問題：

（1）線段_________；

（2）求證：；

（3）當(dāng)為何值時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？

Answer 1

【答案】（1）12；（2）證明見詳解；（3）或t=4s．

【解析】

（1）由勾股定理求出AD即可；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠PBQ=∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的上方時(shí)，根據(jù)題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AD-AM=12-4t，由PQ∥MD，當(dāng)PQ=MD時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，得出方程，解方程即可；
②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時(shí)，根據(jù)題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AM-AD=4t-12，由PQ∥MD，當(dāng)PQ=MD時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，得出方程，解方程即可．

（1）解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴（cm），
（2）如圖所示：

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，即∠PBQ=∠C，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB=∠C，
∴∠PBQ=∠PQB，
∴PB=PQ；

（3）分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的上方時(shí)，如圖2所示：

根據(jù)題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，
∴MD=AD-AM=12-4t，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴當(dāng)PQ=MD時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，
即：當(dāng)t=12-4t，時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，
解得：（s）；

②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時(shí)，如圖3所示：
根據(jù)題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，
∴MD=AM-AD=4t-12，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴當(dāng)PQ=MD時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，
即：當(dāng)t=4t-12時(shí)，四邊形PQDM是平行四邊形，
解得：t=4（s）；
綜上所述，當(dāng)或t=4s時(shí)，以P、Q、D、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．