Question

【題目】若邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形AB′C′D′，記旋轉(zhuǎn)角為a．

（I）如圖1，當(dāng)a＝60°時(shí)，求點(diǎn)C經(jīng)過(guò)的弧的長(zhǎng)度和線段AC掃過(guò)的扇形面積；

（Ⅱ）如圖2，當(dāng)a＝45°時(shí)，BC與D′C′的交點(diǎn)為E，求線段D′E的長(zhǎng)度；

（Ⅲ）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若F為線段CB′的中點(diǎn)，求線段DF長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）12π；（Ⅱ）D′E＝6﹣6；（Ⅲ）3﹣3≤DF≤3+3．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD＝CD＝6，∠D＝90°，由勾股定理得到AC＝6，根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式和扇形的面積公式即可得到結(jié)論；

（Ⅱ）連接BC′，根據(jù)題意得到B在對(duì)角線AC′上，根據(jù)勾股定理得到AC′＝＝6，求得BC′＝6﹣6，推出△BC′E是等腰直角三角形，得到C′E＝BC′＝12﹣6，于是得到結(jié)論；

（Ⅲ）如圖3，連接DB，AC相交于點(diǎn)O，則O是DB的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得到FO＝AB′＝3，推出F在以O為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，于是得到結(jié)論．

解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，

∴AC＝6，

∵邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形AB′C′D′，

∴∠CAC′＝60°，

∴的長(zhǎng)度＝＝2π，線段AC掃過(guò)的扇形面積＝＝12π；

（Ⅱ）解：如圖2，連接BC′，

∵旋轉(zhuǎn)角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，

∴B在對(duì)角線AC′上，

∵B′C′＝AB′＝6，

在Rt△AB′C′中，AC′＝＝6，

∴BC′＝6﹣6，

∵∠C′BE＝180°﹣∠ABC＝90°，∠BC′E＝90°﹣45°＝45°，

∴△BC′E是等腰直角三角形，

∴C′E＝BC′＝12﹣6，

∴D′E＝C′D′﹣EC′＝6﹣（12﹣6）＝6﹣6；

（Ⅲ）如圖3，連接DB，AC相交于點(diǎn)O，

則O是DB的中點(diǎn)，

∵F為線段BC′的中點(diǎn)，

∴FO＝AB′＝3，

∴F在以O為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

∵DO＝3，

∴DF最大值為3+3，DF的最小值為3﹣3，

∴DF長(zhǎng)的取值范圍為3﹣3≤DF≤3+3．