Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，AP=AC，BP∥AC，AP交BC于E，求證：CE=CP．

Answer 1

考點：含30度角的直角三角形,等腰三角形的性質,正方形的性質

專題：證明題

分析：把△ABP順時針旋轉90°得到△ADG，從而可得B、G、D三點在同一條直線上，然后可以證明△AGD與△CGD全等，根據全等三角形對應邊相等可得AG=CG，所以△AGC為等邊三角形，根據等邊三角形的性質可以推出∠CEP=∠CPE=75°，從而得解．

解答：證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥AB，AD=AB=CD，∠ACB=45°，
∵BP∥AC，
∴∠CBP=∠CB=45°，∠ABP=90°+45°=135°，
把△ABP繞A旋轉90°到△ADG，連接CG，如圖，

則△ABP≌△ADG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BDA=∠CDB=45°，
所以AG=AP，∠ADG=∠ABP=135°，∠PAB=∠DAG，
則B、D、G三點共線，
∴∠CDG=∠ADG=135°，
在△ADG和△CDG中，

AD=CD ∠ADG=∠CDG DG=DG

，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG=CG=AP=AC，
∴△AGC是等邊三角形，
∵AC⊥BD，
∴∠CGD=∠AGD=30°，
∴∠GAD=∠BAP=60°-45°=15°，
∴∠CAP=45°-15°=30°，
∵AC=AP，
∴∠ACP=∠APC=75°，
∴∠ECP=75°-45°=30°，
∴∠CEP=180°-30°-75°=75°，
∴∠CPE=∠CEP，
∴CE=CP．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，正方形的性質，旋轉的性質的應用，根據旋轉得出全等圖形是解此題的關鍵．