Question

【題目】（1）正方形ABCD，E、F分別在邊BC、CD上（不與端點重合），∠EAF＝45°，EF與AC交于點G

①如圖（i），若AC平分∠EAF，直接寫出線段EF，BE，DF之間等量關系；

②如圖（ⅱ），若AC不平分∠EAF，①中線段EF，BE，DF之間等量關系還成立嗎？若成立請證明；若不成立請說明理由

（2）如圖（ⅲ），矩形ABCD，AB＝4，AD＝8．點M、N分別在邊CD、BC上，AN＝2，∠MAN＝45°，求AM的長度．

Answer 1

【答案】（1）①EF＝BE+DF；見解析；②，①中線段EF，BE，DF之間等量關系還成立：EF＝BE+DF；見解析；（2）AM＝．

【解析】

（1）①結合題意由正方形ABCD的性質(zhì)得到△ABE≌△ADF，則∠AGE＝∠AGF＝90°，又因為AE平分∠BAC，得到EF＝BE+DF；

②作圖延長CD到點H，截取DH＝BE，連接AH，根據(jù)已知條件求證△AEB≌△AHD，則AE＝AH，∠BAE＝∠HAD，再證△EAF≌△HAF，則有EF＝HF＝DF+DH＝BE+DF.

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，和相似△ABN∽△GCN，得到AP＝PM，再設設AP＝x，最終求得

AM．

（1）①如圖（i），

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC＝∠CAD＝45°，

∵∠EAF＝45°，AC平分∠EAF，

∴∠BAE＝∠EAG＝∠DAF＝∠FAG＝22.5°，

∵AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，

∴△ABE≌△ADF（ASA），

∴BE＝DF，AE＝AF，

∴∠AEF＝∠AFE，

∴AC⊥EF，

∴∠AGE＝∠AGF＝90°，

∵AE平分∠BAC，

∴BE＝EG，DF＝GF，

∴EF＝BE+DF；

②，①中線段EF，BE，DF之間等量關系還成立：EF＝BE+DF；

如圖（ⅱ），延長CD到點H，截取DH＝BE，連接AH，

在△AEB與△AHD中，

∵，

∴△AEB≌△AHD（SAS），

∴AE＝AH，∠BAE＝∠HAD，

∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，

∴∠BAE+∠DAF＝45°，

∴∠DAF+∠DAH＝45°．即∠EAF＝∠HAF，

在△EAF與△HAF中，

∵，

∴△EAF≌△HAF（SAS），

∴EF＝HF＝DF+DH＝BE+DF，

（2）如圖（iii），延長AN，DC交于點G，過M作MP⊥AG于點P，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

Rt△ABN中，AB＝4，AN＝2，

∴BN＝2，CN＝8﹣2＝6，

∵AB∥CG，

∴△ABN∽△GCN，

∴，

∴NG＝6，

∵∠MAN＝45°，∠APM＝90°，

∴AP＝PM，

設AP＝x，則PM＝2x，PG＝2x，

∵AG＝2+6＝x+2x，

x＝，

∴AM＝x＝．