Question

【題目】如圖，，是上的一點，，點為上的一動點，點為上的一動點，則的最小值為 ________，當的值取最小值時，則的面積為________.

Answer 1

【答案】2

【解析】

作D點關于AO的對稱點D’，當C,P,D’在同一直線上時，取最小值，則CD’=，故當CD’⊥OD’時，CD’最小，根據得到∠BOD’=60°，根據OC=4，利用三角函數即可求出此時的CD’；作PH⊥BO，根據角平分線的性質得到DP’=PH，根據Rt△OPD’求出D’P，再根據三角形的面積公式即可求出的面積.

作D點關于AO的對稱點D’，當C,P,D’在同一直線上時，取最小值，

故當CD’⊥OD’時，CD’最小，

如圖，∵

∴∠BOD’=60°，

∵OC=4，

∴CD’=OCsin60°=4×=2，

故的最小值為2；

過PH⊥OC，

∵OP平分∠COD’

∴PH=D’P

∵OD’=OCcos60°=4×=2，

∴DP’=OD’tan30°=2×=

故PH=

∴此時S△OPC=OC×PH=×4×=

故答案為：2；.