Question

7．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；
（2）當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形；
（3）如圖2，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，過點(diǎn)B作BK⊥MN于K，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從C、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P自C→D→H→C停止，點(diǎn)Q自B→K→E→B停止，已知CD=10，CH=8，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（ab≠0），若C、B、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是b=24-a．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形CDBE為平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；
（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形進(jìn)行判斷即可；
（3）以C、B、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q在互相平行的對應(yīng)邊上，分三種情況進(jìn)行討論即可求解．

解答 解：（1）四邊形BECD是菱形
理由：∵M(jìn)N∥AB，
∴∠FBD=∠FCE，∠CEF=∠BDF，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB邊上的中點(diǎn)，
∴DC=DB，
∵DE⊥BC
∴CF=BF，
∵在△CEF和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCE=∠FBD}\\{∠CEF=∠BDF}\\{CF=BF}\end{array}\right.$
∴△CEF≌△BDF（AAS），
∴FE=FD，
∴四邊形CDBE是平行四邊形
又∵ED⊥BC，
∴四邊形CDBE是菱形；

（2）當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形
理由：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB邊上的中點(diǎn)，
∴DC=DA，
∴當(dāng)∠A=45°=∠ACD時(shí)，∠CDB=90°，
此時(shí)，菱形BECD是正方形；

（3）由CH⊥AB，BK⊥MN，四邊形CDBE是菱形，可得△CDH≌△BEK，故CD=BE=10，CH=BK=8．
以B、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q在互相平行的對應(yīng)邊上，可分三種情況：
①如圖，當(dāng)P點(diǎn)在CD上、Q點(diǎn)在BE上時(shí)，CP=BQ，a=24-b，即b=24-a；

②如圖，當(dāng)P點(diǎn)在DH上、Q點(diǎn)在EK上時(shí)，CQ=BP，24-b=a，即b=24-a；

③如圖，當(dāng)P點(diǎn)在CH上、Q點(diǎn)在BK上時(shí)，CP=BQ，24-a=b，即b=24-a．

綜上所述，a與b滿足的數(shù)量關(guān)系是b=24-a．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定等知識，難度較大，綜合性較強(qiáng)．解題時(shí)，根據(jù)以B、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，需要分三種情況進(jìn)行討論，并畫出圖形，運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)才能得出結(jié)果．