Question

【題目】兩個(gè)等腰直角三角形如圖放置，∠B=∠CAD=90°，AB=BC=cm，AC=AD，垂直于CD的直線a從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒cm的速度沿CD方向勻速平移，與CD交于點(diǎn)E，與折線BAD交于點(diǎn)F；與此同時(shí)，點(diǎn)G從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1cm的速度沿著DA的方向運(yùn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)G落在直線a上，點(diǎn)G與直線a同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）.

（1）填空：CD=_______cm;

（2）連接EG、FG，設(shè)△EFG的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)t的取值范圍；

（3）是否存在某一時(shí)刻t（0<t<2）,作∠ADC的平分線DM交EF于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)？若存在，求此時(shí)的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）4 ；（2）①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；（3）3- .

【解析】分析：

（1）由∠B=∠CAD=90°，AB=BC=cm，可得AC=4，結(jié)合AC=AD可得CD=；

（2）由題意可知，當(dāng)直線a過(guò)點(diǎn)A時(shí)，t=2，當(dāng)直線a過(guò)點(diǎn)G時(shí)，t=；因此需分0<t≤2和2<t<（當(dāng)t=時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止了）兩段分別進(jìn)行討論，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形如下圖1和圖2，作出如圖所示的輔助線，結(jié)合已知條件分析、計(jì)算即可得到對(duì)應(yīng)的y與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖3，當(dāng)DM平分∠ADC時(shí)，延長(zhǎng)DM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB，并交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，由已知條件易得AQ=AD，AN=DN，由此即可求得QN的長(zhǎng)，結(jié)合EM=EF=DN、EF∥DN可得DF=EN=，再由CF=CD-DF即可求得CF的長(zhǎng)，由此即可求得對(duì)應(yīng)的t的值.

詳解：

（1）∵在△ABC中，AB=CB=，∠ABC=90°，

∴AC=，

又∵在△ACD中，AC=AD，∠CAD=90°，

∴CD=；

（2）由題意可得，當(dāng)t=2時(shí)，直線a過(guò)點(diǎn)A；點(diǎn)G在水平方向上的移動(dòng)速度為cm/秒，由此可得當(dāng)t=時(shí)，直線a過(guò)點(diǎn)G；由此可分以下兩種情況討論y與t間的函數(shù)關(guān)系：

①如圖1，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，GH⊥EF于點(diǎn)H，由題意可得EF=BC=，CE=，MD=GD=，GH=ME，

∴GH=CD-CE-MD=，

∴y=S△EFG=EF·GH=（），

即：當(dāng)時(shí)，；

②如圖2，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥CD于點(diǎn)N，由題意可得EF=DF=CD-CF=，GN=DN=DG=，

∴FN=CD-CF-DN=，

∴y=S△EFG=EF·FN=，

化簡(jiǎn)整理得：當(dāng)時(shí)，；

綜上所述，y與t間的函數(shù)關(guān)系式為：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；

（3）存在符合要求的點(diǎn)M，如圖3，當(dāng)DM平分∠ADC時(shí)，延長(zhǎng)DM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB，并交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

∵∠B=∠CAD=90°，AB=BC，AC=AD，

∴∠ACB=∠ACD=∠ADC=45°，

∴∠BCD=90°，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∴AB∥CD，

∴∠Q=∠CDQ，∠DAN=∠ADC=45°，

∵DM平分∠ADC，DN⊥AB于點(diǎn)N，

∴∠ADQ=∠CDQ=∠Q，∠DAN=∠ADN=45°，

∴AQ=AD=4，AN=DN=AD=，

∴QN=AQ+AN=，

由題意可知EF⊥AB，又∵AB∥CD，DN⊥AB，

∴可得四邊形EFDN是矩形，

∴EF=DN，EN=DF，

∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，

∴EM=EF =DN，

∵DF∥DN，

∴△QEM∽△QNB，

∴QE：QN=EM：DN=1：2，

∴QE=QN=，

∴DF=EN=QN-QE=，

∴CF=CD-DF=，

∴.