Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BE∥CD，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC．
（1）求證：BE為⊙O的切線．
（2）若CD=6，tan∠BCD=

1

2

，求⊙O的直徑．

Answer 1

（1）∵CD⊥AB，BE∥CD，
∴EB⊥AB，
∵AB為圓的直徑，
∴BE為圓O的切線；

（2）∵AB⊥CD，
∴M為CD中點(diǎn)，即CM=DM=

1

2

CD=3，
在Rt△BCM中，tan∠BCD=

BM

CM

，即BM=3×

1

2

=

3

2

，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠BCD=∠CAB，
∴tan∠CAB=tan∠BCD=

1

2

，
∴

CM

AM

=

1

2

，即AM=2CM=6，
則AB=AM+BM=6+

3

2

=

15

2

．