Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在線段CB的延長線上，連接DE交AB于點(diǎn)F，2∠CED＝∠AED，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)

（1）求證：∠CED＝∠DAG；

（2）若AG＝4，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）4．

【解析】

（1）根據(jù)矩形的對邊平行可得AD∥BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠CED＝∠ADE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AG＝DG，然后根據(jù)等邊對等角求出∠DAG＝∠ADE，從而得證；

（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求出∠AGE＝∠ADG+∠DAG＝2∠DAG，然后求出∠AED＝∠AGE，根據(jù)等角對等邊可得AE＝AG．

解：

（1）證明：∵矩形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠CED＝∠ADE，

又∵點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，

∴AG＝DG，

∴∠DAG＝∠ADE，

∴∠CED＝∠DAG；

（2）在△ADG中，∠AGE＝∠ADG+∠DAG＝2∠DAG，

又∵∠AED＝2∠CED，

∴∠AED＝∠AGE，

∴AE＝AG，

∵AG＝4，

∴AE＝4．