Question

【題目】如圖1,拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)和點(diǎn),與軸交于點(diǎn),拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為軸于點(diǎn)．將拋物線(xiàn)平移后得到頂點(diǎn)為且對(duì)稱(chēng)軸為直的拋物線(xiàn)．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)如圖2,在直線(xiàn)上是否存在點(diǎn),使是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出所有點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，若以為頂點(diǎn)的三角形與全等,求直線(xiàn)的解析式．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)的解析式為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為,,；（3）的解析式為或.

【解析】（1）把和代入求出a、c的值，進(jìn)而求出y1，再根據(jù)平移得出y2即可；

（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為,設(shè),已知，過(guò)點(diǎn)作軸于,分三種情況時(shí)行討論等腰三角形的底和腰，得到關(guān)于t的方程，解方程即可；

（3）設(shè),則,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得,分點(diǎn)在直線(xiàn)的左側(cè)或右側(cè)時(shí),結(jié)合以構(gòu)成的三角形與全等求解即可.

詳解:(1)由題意知，

，

解得，

所以,拋物線(xiàn)y的解析式為；

因?yàn)閽佄锞�(xiàn)平移后得到拋物線(xiàn),且頂點(diǎn)為，

所以?huà)佄锞�(xiàn)的解析式為，

即： ；

(2)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為,設(shè),已知，

過(guò)點(diǎn)作軸于,

則 ，

，

，

當(dāng)時(shí)，

即，

解得或；

當(dāng)時(shí),得，無(wú)解；

當(dāng)時(shí),得,解得;

綜上可知,在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)使是等腰三角形,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為,,.

(3)設(shè),則,

因?yàn)?/span>關(guān)于對(duì)稱(chēng),

所以,

情況一:當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)的左側(cè)時(shí),

,

,

又因?yàn)橐?/span>構(gòu)成的三角形與全等,

當(dāng)且時(shí),,

可求得,即點(diǎn)與點(diǎn)重合

所以,

設(shè)的解析式,

則有

解得,

即的解析式為,

當(dāng)且時(shí),無(wú)解,

情況二:當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)右側(cè)時(shí),

,

,

同理可得

的解析式為,

綜上所述, 的解析式為或.