Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且∠CAB=2∠BCP．

（1）求證：直線(xiàn)CP是⊙O的切線(xiàn)．

（2）若BC=2，sin∠BCP=，求點(diǎn)B到AC的距離．

（3）在第（2）的條件下，求△ACP的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）4（3）20

【解析】解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，

∴2∠BCP+2∠BCA=180°。

∴∠BCP+∠BCA=90°，即∠PCA=90°。

又∵AC是⊙O的直徑，∴直線(xiàn)CP是⊙O的切線(xiàn)。

（2）如圖，作BD⊥AC于點(diǎn)D，

∵PC⊥AC，∴BD∥PC。∴∠PCB=∠DBC。

∵C=2，sin∠BCP=

∴，解得：DC=2。

∴由勾股定理得：BD=4。∴點(diǎn)B到AC的距離為4。

（3）如圖，連接AN，

在Rt△ACN中，，

又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3。

∵BD∥CP，∴△ABD∽△ACP。

∴，即。∴。

在Rt△ACP中，。

∴△ACP的周長(zhǎng)為。

（1））根據(jù)∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，從而得到∠BCP+∠BCA=90°，證得直線(xiàn)CP是⊙O的切線(xiàn)。

（2）作BD⊥AC于點(diǎn)D，得到BD∥PC，從而利用求得DC=2，再根據(jù)勾股定理求得點(diǎn)B到AC的距離為4。

（3）先求出AC的長(zhǎng)度，然后由BD∥PC求得△ABD∽△ACP，利用比例線(xiàn)段關(guān)系求得CP的長(zhǎng)度，再由勾股定理求出AP的長(zhǎng)度，從而求得△ACP的周長(zhǎng)