Question

如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，點P是AB上的一個動點（點P可以與點A重合，但不與點B重合），過點P作PE⊥BC，垂足為，過點E作EF⊥AC，垂足為F，過點F作FQ⊥AB，垂足為Q，設BP=x，AQ=y．
（1）寫出y與x之間的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍；
（2）當BP的長等于多少時，點P與點Q重合；
（3）用x的代數(shù)式表示PQ的長（不必寫出解題過程）．

Answer 1

分析：（1）設BP=x，利用等邊三角形中，三個角均為60°，三邊長相等，逐步求出BE，EC，CF，AF的長，利用△BEP∽△AQF，對應邊成比例，求出AP與AQ之間的關系；
（2）點P與點Q重合時，有AQ+AP=AB，代入關系式求解，
（3）根據(jù)題意及（1）（2）即可推理得出答案．

解答：解：（1）PE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)Q⊥AB，
∠A=∠B=∠C=60°，設BP=x，
∴BE=

x

2

，EC=4-

x

2

，CF=2-

x

4

，
AF=4-2+

x

4

=2+

x

4

，
∵△BEP∽△AQF，
∴

AF

BP

=

AQ

BE

，
∴AQ=1+

x

8

，
∴y=1+

x

8

（0＜x≤4）；

（2）當x+y=4，x+1+

x

8

=4，
∴

9

8

x=3，
∴x=

8

3

，
故BP為

8

3

時，P與Q重合；

（3）PQ=3-

9

8

x(0＜x≤

8

3

)，
PQ=

9

8

x-3(

8

3

＜x≤4)．

點評：本題主要考查了利用銳角三角函數(shù)的概念，逐步找到x與y關系，同時考查了相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)，比較綜合，難度較大．