Question

5．已知拋物線C：y=ax²+bx+6的頂點(diǎn)為M，且經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），對(duì)稱軸為直線x=2．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）將拋物線C繞著x軸上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C′，且點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)M′，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)A′，若四邊形AM′A′M的面積為16，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可求出點(diǎn)A（1，0）關(guān)于對(duì)稱軸直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)為（3，0），然后把（1，0），（3，0）代入y=ax²+bx+6即可求出答案．
（2）設(shè)P（t，0），根據(jù)題意，PA=PA′=|t-1|，M′的縱坐標(biāo)為2，由四邊形AM′A′M的面積=4×$\frac{1}{2}$×|t-1|×2=16，即可求得．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+6的對(duì)稱軸為x=2，
∴根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得：點(diǎn)A（1，0）的對(duì)稱點(diǎn)為（3，0），
把兩點(diǎn)代入得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+6=0}\\{9a+3b+6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為y=2x²-8x+6，
∵y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-2）．
（2）設(shè)P（t，0），
根據(jù)題意，PA=PA′=|t-1|，M′的縱坐標(biāo)為2，
∵四邊形AM′A′M的面積為16，
∴4×$\frac{1}{2}$×|t-1|×2=16，
解得t=5或-3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）或（-3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)圖象與幾何變換，求出點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)和熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．