Question

17．如圖，菱形OABC的頂點A的坐標為（2，0），∠COA=60°，將菱形OABC繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到菱形ODEF，則圖中陰影部分的面積為4π-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過點B作BG⊥x軸于點G，連接OE，OB，由菱形OABC的頂點A的坐標為（2，0），可求得OA=2，又由將菱形OABC繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到菱形ODEF，∠COA=60°，可求得∠AOB=∠EOF=30°，AB=OA=2，繼而求得線段BG的長，則可求得扇形EOB與菱形OABC的面積，繼而求得答案．

解答 解：過點B作BG⊥x軸于點G，連接OE，OB，
∵菱形OABC的頂點A的坐標為（2，0），
∴OA=2，
∵將菱形OABC繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到菱形ODEF，∠COA=60°，
則∠AOB=∠EOF=30°，AB=OA=2，
∴∠BAG=60°，
∴∠ABG=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB=1，BG=$\sqrt{A{B}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴OB=2BG=2$\sqrt{3}$，
∵∠BOE=120°，
∴S_扇形=$\frac{120π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=4π，S_菱形OABC=OA•BG=2$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_扇形-S_菱形OABC=4π-2$\sqrt{3}$．
故答案為：4π-2$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．