Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，內(nèi)切圓⊙I與BC相切于點D，∠BIC=105°，AB=8cm，求：
（1）∠BIA和∠A的度數(shù)；
（2）BC和AC的長；
（3）內(nèi)切圓⊙I的半徑和BI的長．

Answer 1

分析 （1）連接AI．三角形的內(nèi)心即三條角平分線的交點，故此∠ICB=45°，由∠CIB=105°可知∠CBI=30°，于是得到∠CBA=60°，∠CAB=30°，∠AIB=135°；
（2）由題意可知AB=8，∠CAB=30°，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得BC=4，AC=4$\sqrt{3}$；
（3）根據(jù)三角形的面積=$\frac{1}{2}×$三角形的周長×內(nèi)切圓的半徑可求得r的值，連接ID，由∠IBD=30°可知：IB=2r．

解答 解：（1）連接AI．

∵∠ACB=90°，I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠ICB=45°．
又∵∠CIB=105°，
∴∠CBI=30°．
∴∠CBA=60°．
∴∠CAB=30°．
∴∠AIB=180°-$\frac{1}{2}×30°-\frac{1}{2}×60°$=135°．
（2）∵AB=8，∠CAB=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}AB$=4，AC=AB×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
（3）設(shè)圓I的半徑為r．根據(jù)題意得：$\frac{1}{2}×（4+8+4\sqrt{3}）r$=$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}$．
解得：r=2$\sqrt{3}$-2．
連接ID．

∵BC是圓I的切線，
∴ID⊥BC．
又∵∠IBD=30°．
∴IB=2ID=4$\sqrt{3}$-4．

點評 本題主要考查的是三角形的內(nèi)心、特殊銳角三角函數(shù)，三角形的內(nèi)角和定理，明確三角形的面積=$\frac{1}{2}×$三角形的周長×內(nèi)切圓的半徑是解題的關(guān)鍵．