Question

【題目】如圖，⊙O的直徑PD＝8，點E是⊙O上一點，點A是的中點，連接PA，過點A作直線l⊥PE，垂足為點B，PB=6，直徑PD的延長線交直線l于點F．

（1）求證：直線l是⊙O的切線；

（2）求線段PA的長；

（3）求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AP=；（3）

【解析】

（1）連接OA，由等弧對等角可得∠APD＝∠APE，再由等邊對等角得∠APD=∠OAP，然后推出OA∥BP進而得出OA⊥BF，即可得證；

（2）連接AD，由圓周角定理可得∠DAP=90°，然后易證△DAP∽△APB，由比例關(guān)系求出AP；

（3）利用勾股定理求出AD，可知△OAD為等邊三角形，然后根據(jù)即可得出答案.

解：（1）證明：如圖，連接OA．

，

∴∠APD＝∠APE，

∵OA=OP，

∴∠APD=∠OAP，

∴∠OAP＝∠APE，

∴OA∥BP，

∵PB⊥FB，

∴OA⊥BF，

∴直線l是⊙O的切線．

（2）如圖，連接AD，

∵AD是⊙O的直徑

∴∠DAP＝∠ABP=90°

又∵∠APD＝∠APE，

∴△DAP∽△APB，

∴AP2=PB·PD，

∴AP=．

（3）∵AD=

∴AD=OD=OA

∴△OAD是等邊三角形，

∴∠AOD＝60°

∴

∴．