Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，DA⊥AB，DO及DO的延長線與⊙O分別相交于點E、F，EB與CF相交于點G．

（1）求證：DA=DC；

（2）⊙O的半徑為3，AC=，求GC的長．

　

Answer 1

【考點】切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）由AB是⊙O的直徑，AB⊥DA，可得AD是⊙O的切線，又由DC是⊙O切線，根據(jù)切線長定理即可求得答案；

（2）由勾股定理求出EG、CF、BC長，根據(jù)△BGC∽△FGE求出===，則CG=CF；利用勾股定理求出CF的長，則CG的長度可求得．

【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，AB⊥DA，

∴AD是⊙O的切線，

∵DC是⊙O切線，

∴DA=DC．

（2）解：由切線長定理得：DO垂直平方AC，

∵AC=，

∴AM=，

在RT△MAO中，OM===，

∴EM=3﹣=，

在RT△EMC中，CE==，

∵EF是直徑，

∴∠ECF=90°，

∴CF===，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴BC===，

∵∠GCB=∠GEF，∠GFE=∠GBC，（圓周角定理）

∴△BGC∽△FGE，

∴===，

∵CF=CG+GF， =，

∴CG=CF=×=．

【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用定理進行推理和計算的能力，綜合性比較強，難度偏大．