Question

【題目】如圖在中，，點在上，以為半徑的⊙交于，的垂直平分線交于，交于，連接．

（1）求證：是⊙的切線；

（2）若，，且，求⊙的直徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的直徑為

【解析】

（1）直線DE與圓O相切，理由如下：連接OD，由OD=OA，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到∠ODE為直角，即可得證；
（2）利用∠B=30°，BC=4，且AD：DF=1：2，求得AD的長，再根據(jù)△AOD是等邊三角形，可得AO=AD=，進而得到⊙O的直徑為．

解：(1)如圖，連接OD，

∵OD=OA， ∴∠A=∠ODA，

∵EF是BD的垂直平分線， ∴EB=ED， ∴∠B=∠EDB，

∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，

∴∠ODE= 180°（∠ODA+∠EDB）=180°90°=90°，

∴OD⊥DE于E又∵OD是⊙O的半徑

∴直線DE與⊙O相切；

（2）∵∠B=30°，∴∠A=180°-∠B-∠C=60°

∵OD=OA ∴△OAD是等邊三角形

在Rt△ABC中，設(shè)AC=x，則AB=2x，

AC2+BC2=AB2，即解得x=4，∴AC=4，則AB=8

設(shè)AD =m,則DF=BF=2m，

∵AB=AD+2DF即m+4m=8，得m=

∴OA=AD=，2OA =

答：⊙O的直徑為