Question

【題目】探究

（1）如圖①，在等腰直角三角形中，，作交于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接交射線于點(diǎn)，連接、．

　　　　　　　　

填空：

①線段、的數(shù)量關(guān)系為___________．

②線段、的位置關(guān)系為___________．

推廣：

（2）如圖②，在等腰三角形中，，作交于點(diǎn)，點(diǎn)為外部射線上一點(diǎn)，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到線段，連接、、請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立，并說(shuō)明理由．

應(yīng)用：

（3）如圖③，在等邊三角形中，．作交于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接交射線于點(diǎn)，連接、．當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．

Answer 1

【答案】(1) BD=BE, BC⊥DE；(2) 結(jié)論：（1）中的結(jié)論仍然成立,理由見(jiàn)解析；（3）或或4．

【解析】

(1)如圖①中，只要證明△CBD≌△CBE（SAS），再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)即可；

（2）結(jié)論不變。如圖②中，只要證明△CBD≌△CBE（SAS），再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)即可；

（3）分點(diǎn)D在線段BM上和點(diǎn)D在線段BM的延長(zhǎng)線上兩種情形分別求解即可．

解：（1）如圖①，

∵CA=CB，∠ACB=90°，CM平分∠ACB，

∴∠ACM=∠BCM=45°，

∵∠ECD=90°，

∴∠ECF=∠DCF=45°， CD=CE CB=CB

∴△CBD≌△CBE（SAS），

∴BD=BE，

∴CD=CE

∴BC垂直平分線段DE，

∴BC⊥DE.

故答案為BD=BE, BC⊥DE；

(2)結(jié)論：（1）中的結(jié)論仍然成立;理由：如圖②，

∴CA=CB，∠ACB= ,CM平分∠ACB

∴∠ACM=∠BCM=，

∵∠ECD=，

∴∠ECF=∠DCF=,

∵CD=CE, CB=CB

∴△CBD≌△CBF（SAS）

∴BD=BE

∴CD=CE，

∵BC垂直平分線段DE，

∴BC⊥DE

(3) 當(dāng)點(diǎn)D在線段BM上時(shí)，即△AFE≌△AMD時(shí)，AF=AM，

∵∠AFD=∠AMD=90°AD=AD,

∴Rt△ADF≌Rt△ADM（HL）

∴∠DAF=∠DAM=30°

∴∠DBA=∠DAB=30°

∴DA=DB

∵DF⊥AB

∴∠BDF=60°，BF=AF=2

BD=BE

∴△BDE是等邊三角形，

∴DF=EF= BF·tan30°=

DE=2EF=

如圖③-1中，當(dāng)點(diǎn)D在BM的延長(zhǎng)線時(shí)，易證AF=AM=2，DE=2DF=

如圖③-2中，當(dāng)EF=AM=DF時(shí)，也滿(mǎn)足條件，此時(shí)DE=BD=AB=4，

綜上所述，滿(mǎn)足條件的DE的值為或或4．