Question

【題目】已知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+6（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的兩個(gè)根．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）請(qǐng)求出該二次函數(shù)表達(dá)式及對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）如圖，在二次函數(shù)對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APC的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，那個(gè)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）；（2）y＝﹣x2+2x+6，拋物線的對(duì)稱軸為x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）；（3）P（2，4）．

【解析】

（1）解一元二次方程x2-4x-12=0，求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到答案；
（2）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=ax2+bx+6，得到a和b的二元一次方程組，求出a和b的值即可，進(jìn)而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′，交拋物線對(duì)稱軸于P點(diǎn)，連接CP，求出C′坐標(biāo)，求出直線AC′解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）解方程x2﹣4x﹣12＝0得x1＝﹣2，x2＝6，

即A（﹣2，0），B（6，0）；

（2）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y＝ax2+bx+6，

得到，

解得，

即y＝﹣x2+2x+6，

由于y＝﹣x2+2x+6＝-（x﹣2）2+8，

即拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）；

（3）如圖，作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′，交拋物線對(duì)稱軸于P點(diǎn)，連接CP，

∵C（0，6），

∴C′（4，6），

設(shè)直線AC′解析式為y＝kx+n，

則，

解得，

∴y＝x+2，

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4，

即P（2，4）．