Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點(diǎn)A(a,0)在x軸的正半軸上，定點(diǎn)B(m, n)在第一象限內(nèi)（m＜2≤a）.在△OAB外作正方形ABCD和正方形OBEF ， 連接FD ， 點(diǎn)M為線段FD的中點(diǎn).作BB1⊥x軸于點(diǎn)B1 ， 作FF1⊥x軸于點(diǎn)F1.

（1）填空：由△≌△ ， 及B(m, n)可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為 ， 同理可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（說明：點(diǎn)F ， 點(diǎn)D的坐標(biāo)用含m ， n ， a的式子表示）
（2）直接利用（1）的結(jié)論解決下列問題：
①當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上指定范圍內(nèi)運(yùn)動時，點(diǎn)M總落在一個函數(shù)圖象上，求該函數(shù)的解析式（不必寫出自變量x的取值范圍）；
②當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動且滿足2≤a≤8時，求點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑的長.

Answer 1

【答案】
（1）；；；
（2）

解：①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 .

∵ 點(diǎn)M為線段FD的中點(diǎn)， ， ，

可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為 .

∴

消去a，得 .

所以，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上指定范圍內(nèi)運(yùn)動時，相應(yīng)的點(diǎn)M在運(yùn)動時總落在直線 上，即點(diǎn)M總落在函數(shù) 的圖象上.

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動且滿足2≤a≤8時，點(diǎn)A運(yùn)動的路徑為線段 ，其中 ， ，相應(yīng)地，點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑為直線 上的一條線段 ，其中 ， .

而 ，

∴ 點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑的長為

【解析】（1）如圖1.由△ ≌△ ，及B(m, n)可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為 ，同理可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為 .

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用線段的中點(diǎn)和兩點(diǎn)間的距離的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等；同軸兩點(diǎn)求距離，大減小數(shù)就為之．與軸等距兩個點(diǎn)，間距求法亦如此．平面任意兩個點(diǎn)，橫縱標(biāo)差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記．