Question

【題目】在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在線段BC上（不含點(diǎn)B），∠BPE= ∠ACB，PE交BO于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點(diǎn)G．

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖①），求證：△BOG≌△POE；
（2）結(jié)合圖②，通過觀察、測(cè)量、猜想： 與 的關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖③），若AC=8，BD=6，直接寫出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，

∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，

∵PF⊥BG，∠PFB=90°，

∴∠GBO=90°﹣∠BGO，∠EPO=90°﹣∠BGO，

∴∠GBO=∠EPO，

在△BOG和△POE中，

∴△BOG≌△POE（ASA）；

（2）解：猜想 = ．

證明：如圖2，過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．

∵∠OBC=∠OCB=45°，

∴∠NBP=∠NPB．

∴NB=NP．

∵∠MBN=90°﹣∠BMN，∠NPE=90°﹣∠BMN，

∴∠MBN=∠NPE，

在△BMN和△PEN中，

∴△BMN≌△PEN（ASA），

∴BM=PE．

∵∠BPE= ∠ACB，∠BPN=∠ACB，

∴∠BPF=∠MPF．

∵PF⊥BM，

∴∠BFP=∠MFP=90°．

在△BPF和△MPF中，

∴△BPF≌△MPF（ASA）．

∴BF=MF．

即BF= BM．

∴BF= PE．

即 = ；

故答案為 ；

（3）解：如圖3，

過P作PM∥AC交BG于點(diǎn)M，交BO于點(diǎn)N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°，

在Rt△BOC中，OC= AC=4，OB= BD=3，

∴tan∠ACB= =

由（2）同理可得：BF= BM，∠MBN=∠EPN，

∵∠BNM=∠PNE=90°，

∴△BMN∽△PEN．

∴ ．

在Rt△BNP中，tan∠ACB= = ，

∴ =tan∠ACB= ．

即 = ．

∴ = × = ．

【解析】（1）先依據(jù)正方形的性質(zhì)以及P與C重合，可證明OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，由同角的余角相等可得到∠GBO=∠EPO，然后依據(jù)ASA可得到△BOG≌△POE；
（2）過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，然后依據(jù)ASA可證明△BMN≌△PEN、△BPF≌△MPF（ASA），從而可得到BM=PE，BF=BM．則可求得 的值；
（3）過P作PM∥AC交BG于點(diǎn)M，交BO于點(diǎn)N，由（2）可知到BF=，∠MBN=∠EPN，然后再可證明△BMN∽△PEN，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的正方形的性質(zhì)，需要了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．