試證：每個大于6的自然數(shù)n，都可以表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和．
【答案】
分析：寫出n＞6時的自然數(shù)，得到必有一個數(shù)A與n互質(zhì)，然后分三種情況討論：（1）當n為奇數(shù)時；（2）當n為偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)時；（3）當n為偶數(shù)，且又是4的倍數(shù)時．
解答：證明：直觀上可以這樣看，當n＞6時，在2，3，…，n-2中，必有一個數(shù)A與n互質(zhì)（2≤A≤n-2），
記B=n-A≥2，有n=A+B，
此時，A與B必互質(zhì)，否則A與B有公約數(shù)d＞1，則d也是n的約數(shù)，從而A與n有大于1的公約數(shù)，與A、n互質(zhì)矛盾．
（1）當n為奇數(shù)時，
n=2+（n-2），或n=
+
（2）當n為偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)時，n=
+
，
由n＞6知
＞1，且
、
均為奇數(shù)，
（
，
）=（
，4）=1．
（3）當n為偶數(shù)，且又是4的倍數(shù)時，有n=
+
，
由n＞6知
＞1，且
、
均為奇數(shù)，
（
，
）=（
，2）=1．
點評：此題考查了自然數(shù)中互質(zhì)的數(shù)的判定，分類討論在解題中起著至關重要的作用，不可輕視．
