Question

試證：每個(gè)大于6的自然數(shù)n，都可以表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和．

Answer 1

證明：直觀上可以這樣看，當(dāng)n＞6時(shí)，在2，3，…，n-2中，必有一個(gè)數(shù)A與n互質(zhì)（2≤A≤n-2），
記B=n-A≥2，有n=A+B，
此時(shí)，A與B必互質(zhì)，否則A與B有公約數(shù)d＞1，則d也是n的約數(shù)，從而A與n有大于1的公約數(shù)，與A、n互質(zhì)矛盾．
（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
n=2+（n-2），或n=

n-1

2

+

n+1

2

（2）當(dāng)n為偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)時(shí)，n=

n-4

2

+

n+4

2

，
由n＞6知

n-4

2

＞1，且

n+4

2

、

n-4

2

均為奇數(shù)，
（

n-4

2

，

n+4

2

）=（

n-4

2

，4）=1．
（3）當(dāng)n為偶數(shù)，且又是4的倍數(shù)時(shí)，有n=

n-2

2

+

n+2

2

，
由n＞6知

n-2

2

＞1，且

n-2

2

、

n+2

2

均為奇數(shù)，
（

n-2

2

，

n+2

2

）=（

n-2

2

，2）=1．