Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點E，點F、M分別是AB、BC的中點，BN平分∠ABE交AM于點N，AB＝AC＝BD，連接MF，NF

求證：（1）BN＝MN；

（2）△MFN∽△BDC．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得是高線、頂角的角平分線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得，進而可知是等腰直角三角形，即得．

（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得與的關系，根據(jù)等量代換，可得與的關系，根據(jù)等腰直角三角形，可得與的關系，根據(jù)等量代換，可得與的關系，根據(jù)同角的余角相等，可得與的關系，根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得答案．

（1）證明：∵，點是的中點

∴，平分

∵平分

∴

∵

∴

∴

∴

∴是等腰直角三角形

∴

（2）證明：∵點，分別是，的中點，

∴，

∵

∴，即

∵是等腰直角三角形

∴，即

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴