Question

【題目】已知線段AB，過(guò)點(diǎn)A的射線l⊥AB．在射線l上截取線段AC＝AB，連接BC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BM上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，將△BPN逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DPE，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．

（1）當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M重合，且點(diǎn)P不是AB中點(diǎn)時(shí)，

①據(jù)題意在圖中補(bǔ)全圖形；

②證明：以A，M，E，D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．

（2）連接EM．若AB＝4，從下列3個(gè)條件中選擇1個(gè)：

①BP＝1，②PN＝1，③BN＝，

當(dāng)條件　 （填入序號(hào)）滿足時(shí)，一定有EM＝EA，并證明這個(gè)結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）①補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；（2）③．

【解析】

（1）①按照題中敘述畫出圖形即可；②如圖，連接AE，AM．由題意可知△ABC是等腰直角三角形，由旋轉(zhuǎn)可知△DPE≌△BPN，通過(guò)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形及有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形進(jìn)行判斷即可；
（2）當(dāng)條件③BN=滿足時(shí)，一定有EM=EA．先證明四邊形FMDE是矩形再證明FE垂直平分AM，從而可得答案．

（1）①補(bǔ)全圖形如下：

②證明：如圖，連接AE，AM．

由題意可知：D在BC上，△ABC是等腰直角三角形，則AM⊥BC，AM＝BC，

∵旋轉(zhuǎn)，

∴△DPE≌△BPN，

∴DE＝BN＝BC，∠EDP＝∠PBD．

∴∠EDB＝∠EDP+∠PDB＝∠PBD+∠PDB＝90°，

∴ED⊥BC，

∴ED∥AM，且ED＝AM，

∴四邊形AMDE為平行四邊形．

又∵AM⊥BC，

∴∠AMD＝90°，

∴四邊形AMDE是矩形．

（2）答：當(dāng)條件③BN＝滿足時(shí)，一定有EM＝EA．

證明：與（1）②同理，此時(shí)仍有△DPE≌△BPN，

∴DE＝BN＝，DE⊥BC，

取AM的中點(diǎn)F，連接FE，如圖所示：

∵AB＝4，則AM＝4×sin45°＝2，

∴FM＝．

∴ED∥FM，且ED＝FM，

∴四邊形FMDE是平行四邊形，

又FM⊥BC，

∴∠FMD＝90°，

∴四邊形FMDE是矩形．

∴FE⊥AM，且FA＝FM＝，

∴EA＝EM．

故答案為：③．