Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB分別交y軸、x軸于點A（0，a），點B（b，0），且a、b滿足a2-4a+4+＝0．

（1）求a，b的值；

（2）以AB為邊作Rt△ABC，點C在直線AB的右側(cè)，且∠ACB＝45°，求點C的坐標；

（3）若（2）的點C在第四象限（如圖2），AC與 x軸交于點D，BC與y軸交于點E，連接 DE，過點C作CF⊥BC交x軸于點F．

①求證：CF=BC；

②直接寫出點C到DE的距離．

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝-1；（2）滿足條件的點C（2，1）或（1，-1）；（3）①證明見解析；②1．

【解析】

（1）可得(a2)2+＝0，由非負數(shù)的性質(zhì)可得出答案；
（2）分兩種情況：∠BAC=90°或∠ABC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)可求出點C的坐標；
（3）①如圖3，過點C作CL⊥y軸于點L，則CL=1=BO，根據(jù)AAS可證明△BOE≌△CLE，得出BE=CE，根據(jù)ASA可證明△ABE≌△BCF，得出BE=CF，則結(jié)論得證；
②如圖4，過點C作CK⊥ED于點K，過點C作CH⊥DF于點H，根據(jù)SAS可證明△CDE≌△CDF，可得∠BAE=∠CBF，由角平分線的性質(zhì)可得CK=CH=1．

（1）∵a24a+4+＝0，
∴(a2)2+＝0，
∵（a-2）2≥0，≥0，
∴a-2=0，2b+2=0，
∴a=2，b=-1；
（2）由（1）知a=2，b=-1，
∴A（0，2），B（-1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵△ABC是直角三角形，且∠ACB=45°，
∴只有∠BAC=90°或∠ABC=90°，
Ⅰ、當(dāng)∠BAC=90°時，如圖1，

∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=CB，
過點C作CG⊥OA于G，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∵∠BAO+∠CAG=90°，
∴∠BAO=∠ACG，
在△AOB和△BCP中，
，
∴△AOB≌△CGA（AAS），
∴CG=OA=2，AG=OB=1，
∴OG=OA-AG=1，
∴C（2，1），
Ⅱ、當(dāng)∠ABC=90°時，如圖2，

同Ⅰ的方法得，C（1，-1）；
即：滿足條件的點C（2，1）或（1，-1）
（3）①如圖3，由（2）知點C（1，-1），
過點C作CL⊥y軸于點L，則CL=1=BO，

在△BOE和△CLE中，
，
∴△BOE≌△CLE（AAS），
∴BE=CE，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAO+∠BEA=90°，
∵∠BOE=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF，
∴CF＝BC；
②點C到DE的距離為1．
如圖4，過點C作CK⊥ED于點K，過點C作CH⊥DF于點H，

由①知BE=CF，
∵BE=BC，
∴CE=CF，
∵∠ACB=45°，∠BCF=90°，
∴∠ECD=∠DCF，
∵DC=DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∴CK=CH=1．