Question

【題目】如圖，在菱形中，，點、分別為邊、上的點，且，連接、交于點，連接交于點，則下列結論：①；②；③；④；其中正確的結論個數(shù)是（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

由菱形ABCD中，AB=AC，易證得△ABC是等邊三角形，則可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可證得△ABF≌△CAE，可得∠BAF=∠ACE，EC=AF，由外角性質可得∠FHC=∠B，可判斷①②，由點A，H，C，D四點共圓，可得∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH=∠BAF，可證△AEH～△DAH，可判斷③，通過證明△AEH∽△CEA，可得，可得AEAD=AHAF，可判斷④，即可求解．

解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等邊三角形，
同理：△ADC是等邊三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
∴∠BAF=∠ACE，EC=AF，
∵∠FHC=∠ACE+∠FAC=∠BAF+∠FAC=∠BAC=60°，
∴∠FHC=∠B，
故①正確，②正確；
∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，
∴點A，H，C，D四點共圓，
∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH=∠BAF，
∴∠AHD=∠FHC=∠AHE=60°，
∴△AEH～△DAH，故③正確；
∵∠ACE=∠BAF，∠AEH=∠AEC，
∴△AEH∽△CEA，
∴，
∴AEAC=AHEC，
∴AEAD=AHAF，
故④正確；
故選：D．