Question

【題目】如圖，，點是線段的一個三等分點，以點為圓心，為半徑的圓交于點，交于點，連接

(1)求證:是的切線；

(2)點為上的一動點，連接.

①當(dāng) 時，四邊形是菱形;

②當(dāng) 時，四邊形是矩形.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)①60°，②120°.

【解析】

（1）連接，由，得到為等邊三角形，得到，即可得到，則結(jié)論成立；

（2）①連接BD，由圓周角定理，得到∠ABD=30°，則∠DBE=60°，又有∠BEP=120°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補得到PE//DB，然后證明，即可得到答案；

②由圓周角定理，得∠ABD=60°，得到∠EBD=90°，然后由直徑所對的圓周角為90°，得到，即可得到答案.

證明：連接，

，

.

，

為等邊三角形，

.

點是的三等分點，

，

，

，即，

是的切線.

（2）①當(dāng)時，四邊形是菱形；

如圖，連接BD，

∵，

∴，

∴，

∵AB為直徑，則∠AEB=90°，

由（1）知，

∴，

∴，

∴PE//DB，

∵，，

∴，

∴四邊形是菱形；

故答案為：60°.

②當(dāng)時，四邊形是矩形.

如圖，連接AE、AD、DB，

∵，

∴，

∴，

∵AB是直徑，

∴，

∴四邊形是矩形.

故答案為：.