Question

【題目】如圖①，拋物線(xiàn)過(guò)、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接．

（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式和對(duì)稱(chēng)軸；

（2）點(diǎn)是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時(shí)，求所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖②，將拋物線(xiàn)在上方的圖象沿折疊后與軸交與點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），對(duì)稱(chēng)軸為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）

【解析】

（1）根據(jù)拋物線(xiàn)y＝2x2＋bx＋c過(guò)A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，可以求得該拋物線(xiàn)的解析式，然后將解析式化為頂點(diǎn)式即可得到該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；

（2）根據(jù)題意，可知分兩種情況：和，然后利用勾股定理可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在線(xiàn)段上方的拋物線(xiàn)圖象取點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，求出，求出直線(xiàn)BC的解析式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，得到，，利用列出方程求出n，得到 ，再求出OE，即可得解．

（1）將、代入得：

，

解得：

∴拋物線(xiàn)的解析式為．

∴對(duì)稱(chēng)軸為

（2）當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為

∴；

①當(dāng)時(shí)，

∴

解得：

∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②當(dāng)時(shí)，

∴

解得：

∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

（3）在線(xiàn)段上方的拋物線(xiàn)圖象取點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)．

∴設(shè)直線(xiàn)的表達(dá)式為

將、代入得：

，解得：

∴直線(xiàn)的表達(dá)式為

∵翻折

∴，

∵軸

∴

∴

∴

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴

∵

∴

解得：（舍去），

∴

∴

∵

∴

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．