Question

【題目】如圖，已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，過點A作⊙O的切線交OC的延長線于點D，交BC的延長線于點E．
（1）求證：∠DAC=∠DCE；
（2）若AB=2，sin∠D= ， 求AE的長．

Answer 1

【答案】解：（1）∵AD是圓O的切線，
∴∠DAB=90°．
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠DAC=∠B．
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB．
又∵∠DCE=∠OCB．
∴∠DAC=∠DCE．
（2）∵AB=2，
∴AO=1．
∵sin∠D=，
∴OD=3，DC=2．
在Rt△DAO中，由勾股定理得AD==2．
∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，
∴△DEC∽△DCA．
∴，即=．
解得：DE=．
∴AE=AD﹣DE=．
【解析】（1）由切線的性質可知∠DAB=90°，由直角所對的圓周為90°可知∠ACB=90°，根據同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性質可知∠B=∠OCB，由對頂角的性質可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；
（2）題意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2 ， 由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DEAD，故此可求得DE= ， 于是可求得AE= ．