Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A(0，2)，B(1，0)分別在y軸和x軸的正半軸上，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．

（1）如圖1，若該拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且a=-．

①求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；

②連結(jié)CD，問(wèn)：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如圖2，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（1，1），點(diǎn)Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3個(gè)，請(qǐng)直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】（1）①D的坐標(biāo)是（3，1），；②存在點(diǎn)P（）或（），使得∠POB與∠BCD互余；（2）a的值為．

【解析】

（1）①過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，先通過(guò)三角形全等求得D的坐標(biāo)，把D的坐標(biāo)和a=-，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得拋物線的解析式；
②先證得CD∥x軸，進(jìn)而求得要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，-x2+x），分兩種情況討論即可求得；
（2）若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3個(gè)，根據(jù)tan∠QOB=tan∠BAO==，得到直線OQ的解析式為y=-x，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程ax2-4ax+3a+1=-x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以△=（-4a+）2-4a（3a+1）=0，即4a2-8a+=0，解得．

（1）①過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖1，

∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，

∴△AOB≌△BFD

∴DF=BO=1，BF=AO=2，

∴D的坐標(biāo)是（3，1），

根據(jù)題意，得

∴

∴該拋物線的解析式為：

；

②如圖2，∵點(diǎn)A（0，2），B（1，0），

點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，

∴，

又∵，

∴CD∥x軸，

∴∠BCD=∠ABO，

∴∠BAO與∠BCD互余，

要使得∠POB與∠BCD互余，

則必須∠POB=∠BAO，

設(shè)P的坐標(biāo)為，

（Ⅰ）當(dāng)P在x軸的上方時(shí)，過(guò)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2，

則

即，

∴，

解得（舍去），，

∴，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）；

（Ⅱ））當(dāng)P在x軸的下方時(shí)，過(guò)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖3

則

即

∴，

解得（舍去），，

∴，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）；

綜上，在拋物線上是否存在點(diǎn)P（）或（），使得∠POB與∠BCD互余．

（2）如圖3，∵D（3，1），E（1，1），
拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)E、D，代入可得，解得 ，
所以y=ax2-4ax+3a+1．
分兩種情況：
①當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開(kāi)口向下時(shí)，若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)不可能是3個(gè)

②當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開(kāi)口向上時(shí)，
（i）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c必有兩個(gè)交點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)Q必定有2個(gè)；
（ii）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c只有1個(gè)交點(diǎn)，才能使符合條件的點(diǎn)Q共3個(gè)．
根據(jù)（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此時(shí)直線OQ的解析式為y=-x，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程ax2-4ax+3a+1=-x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以△=（-4a+）2-4a（3a+1）=0，即4a2-8a+=0，解得，
∵拋物線的頂點(diǎn)在x軸下方
∴ ＜0，
∴a＞1，
∴舍去
綜上所述，a的值為．