Question

3．如圖，直線y=5x+5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，過A，C兩點(diǎn)的二次函數(shù)y=ax²+4x+c的圖象交x軸于另一點(diǎn)B．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接BC，點(diǎn)N是線段BC上的動點(diǎn)，作ND⊥x軸交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，求線段ND長度的最大值；
（3）若點(diǎn)H為二次函數(shù)y=ax²+4x+c圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M（4，m）是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，在x軸、y軸上分別找點(diǎn)F，E，使四邊形HEFM的周長最小，求出點(diǎn)F，E的坐標(biāo)．
溫馨提示：在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
當(dāng)PQ平行x軸時(shí)，線段PQ的長度可由公式PQ=|x₁-x₂|求出；
當(dāng)PQ平行y軸時(shí)，線段PQ的長度可由公式PQ=|y₁-y₂|求出．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由一次函數(shù)的表達(dá)式求出A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由二次函數(shù)的表達(dá)式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可求一次函數(shù)BC的表達(dá)式，設(shè)ND的長為d，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，則N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-n+5，D點(diǎn)的坐標(biāo)為D（n，-n²+4n+5），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和二次函數(shù)的最值計(jì)算可求線段ND長度的最大值；
（3）由題意可得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為H（2，9），點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（4，5），作點(diǎn)H（2，9）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)H₁，可得點(diǎn)H₁的坐標(biāo)，作點(diǎn)M（4，5）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)HM₁，可得點(diǎn)M₁的坐標(biāo)連結(jié)H₁M₁分別交x軸于點(diǎn)F，y軸于點(diǎn)E，可得H₁M₁+HM的長度是四邊形HEFM的最小周長，再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線H₁M₁解析式，根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求點(diǎn)F、E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵直線y=5x+5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，
∴A（-1，0），C（0，5），
∵二次函數(shù)y=ax²+4x+c的圖象過A，C兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a-4+c}\\{c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x²+4x+5；
（2）如圖1，
∵點(diǎn)B是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)，
∴由二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x²+4x+5得，點(diǎn)B的坐標(biāo)B（5，0），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，
∵直線BC過點(diǎn)B（5，0），C（0，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-x+5，
設(shè)ND的長為d，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，
則N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-n+5，D點(diǎn)的坐標(biāo)為D（n，-n²+4n+5），
則d=|-n²+4n+5-（-n+5）|，
由題意可知：-n²+4n+5＞-n+5，
∴d=-n²+4n+5-（-n+5）=-n²+5n=-（n-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴當(dāng)n=$\frac{5}{2}$時(shí)，線段ND長度的最大值是$\frac{25}{4}$；
（3）由題意可得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為H（2，9），點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（4，5），
作點(diǎn)H（2，9）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)H₁，則點(diǎn)H₁的坐標(biāo)為H₁（-2，9），
作點(diǎn)M（4，5）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)HM₁，則點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為M₁（4，-5），
連結(jié)H₁M₁分別交x軸于點(diǎn)F，y軸于點(diǎn)E，
所以H₁M₁+HM的長度是四邊形HEFM的最小周長，則點(diǎn)F、E即為所求，
設(shè)直線H₁M₁解析式為y=k₁x+b₁，
直線H₁M₁過點(diǎn)M₁（4，-5），H₁（-2，9），
根據(jù)題意得方程組$\left\{\begin{array}{l}{-5=4{k}_{1}+_{1}}\\{9=-2{k}_{1}+_{1}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{7}{3}}\\{_{1}=\frac{13}{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{7}{3}$x+$\frac{13}{3}$，
∴點(diǎn)F，E的坐標(biāo)分別為（$\frac{13}{7}$，0）（0，$\frac{13}{3}$）．

點(diǎn)評 考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，二次函數(shù)的最值，軸對稱-最短路線問題，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．