Question

14．如圖，正方形ABCD的面積為3cm²，E為BC邊上一點，∠BAE=30°，F(xiàn)為AE的中點，過點F作直線分別與AB，DC相交于點M，N．若MN=AE，則AM的長等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm．

Answer 1

分析 如圖，作DH∥MN，先證明△ADH≌△BAE推出MN⊥AE，在RT△AFM中求出AM即可，再根據(jù)對稱性求出AM′，由此即可解決問題．

解答 解：如圖，作DH∥MN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠B=90°，AB∥CD，
∴四邊形DHMN是平行四邊形，
∴DH=MN=AE，
在RT△ADH和RT△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{DH=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△BAE，
∴∠ADH=∠BAE，
∴∠ADH+∠AHD=∠ADH+∠AMN=90°，
∴∠BAE+∠AMN=90°，
∴∠AFM=90°，
在RT△ABE中，∵∠B=90°，AB=$\sqrt{3}$，∠BAE=30°，
∴AE•cos30°=AB，
∴AE=2，
在RT△AFM中，∵∠AFM=90°，AF=1，∠FAM=30°，
∴AM•cos30°=AF，
∴AM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
根據(jù)對稱性當M′N′=AE時，BM′=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AM′$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故答案為$\frac{√3}{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題科學正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．