Question

6．公元3世紀(jì)，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽就能利用近似公式$\sqrt{{a^2}+r}≈a+\frac{r}{2a}$得到的近似值．他的算法是：先將$\sqrt{2}$看出$\sqrt{{1^2}+1}$：由近似公式得到$\sqrt{2}≈1+\frac{1}{2×1}=\frac{3}{2}$；再將$\sqrt{2}$看成$\sqrt{{{（{\frac{3}{2}}）}^2}+（{-\frac{1}{4}}）}$，由近似值公式得到$\sqrt{2}≈\frac{3}{2}+\frac{{-\frac{1}{4}}}{{2×\frac{3}{2}}}=\frac{17}{12}$；…依此算法，所得$\sqrt{2}$的近似值會越來越精確．當(dāng)$\sqrt{2}$取得近似值$\frac{577}{408}$時(shí)，近似公式中的a是$\frac{17}{12}$或$\frac{24}{17}$，r是-$\frac{1}{144}$或$\frac{2}{289}$．

Answer 1

分析 根據(jù)近似公式得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+r=2}\\{a+\frac{r}{2a}=\frac{577}{408}}\end{array}\right.$，然后解方程組即可．

解答 解：由近似值公式得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+r=2}\\{a+\frac{r}{2a}=\frac{577}{408}}\end{array}\right.$，
∴a+$\frac{2-{a}^{2}}{2a}$=$\frac{577}{408}$，
整理得204a²-577a+408=0，解得a₁=$\frac{17}{12}$，a₂=$\frac{24}{17}$，
當(dāng)a=$\frac{17}{12}$時(shí)，r=2-a²=-$\frac{1}{144}$；
當(dāng)a=$\frac{24}{17}$時(shí)，r=2-a²=$\frac{2}{289}$．
故答案為a=$\frac{17}{12}$，r=-$\frac{1}{144}$或a=$\frac{24}{17}$，r=$\frac{2}{289}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次根式的應(yīng)用：利用類比的方法解決問題．