Question

【題目】如圖，在梯形中，,,,,點為邊上一動點，作⊥,垂足在邊上，以點為圓心，為半徑畫圓，交射線于點.

（1）當圓過點時，求圓的半徑；

（2）分別聯(lián)結(jié)和，當時，以點為圓心，為半徑的圓與圓相交，試求圓的半徑的取值范圍；

（3）將劣弧沿直線翻折交于點,試通過計算說明線段和的比值為定值，并求出次定值.

Answer 1

【答案】（1）x=3 （2） （3）

【解析】

(1)作AM⊥BC、連接AP，由等腰梯形性質(zhì)知BM=4、AM=3，據(jù)此知tanB=tanC= ，從而可設PH=3k，則CH=4k、PC=5k，再表示出PA的長，根據(jù)PA=PH建立關(guān)于k的方程，解之可得；

(2)由PH=PE=3k、CH=4k、PC=5k及BC=9知BE=98k，由△ABE∽△CEH得 ，據(jù)此求得k的值，從而得出圓P的半徑，再根據(jù)兩圓間的位置關(guān)系求解可得；

(3)在圓P上取點F關(guān)于EH的對稱點G，連接EG，作PQ⊥EG、HN⊥BC，先證△EPQ≌△PHN得EQ=PN，由PH=3k、HC=4k、PC=5k知sinC= 、cosC= ，據(jù)此得出NC= k、HN=k及PN=PCNC=k，繼而表示出EF、EH的長，從而出答案．

(1)作AM⊥BC于點M，連接AP，如圖1，

∵梯形ABCD中，AD//BC，且AB=DC=5、AD=1、BC=9，

∴BM=4、AM=3，

∴tanB=tanC=，

∵PH⊥DC，

∴設PH=3k，則CH=4k、PC=5k，

∵BC=9，

∴PM=BCBMPC=55k，

∴AP=AM+PM=9+(55k) ，

∵PA=PH，

∴9+(55k) =9k，

解得：k=1或k=，

當k= 時，CP=5k= >9，舍去；

∴k=1，

則圓P的半徑為3．

(2)如圖2，

由(1)知，PH=PE=3k、CH=4k、PC=5k，

∵BC=9，

∴BE=BCPEPC=98k，

∵△ABE∽△CEH，

∴ ，即 ，

解得：k= ，

則PH= ，即圓P的半徑為，

∵圓B與圓P相交，且BE=98k= ，

∴<r<；

(3)在圓P上取點F關(guān)于EH的對稱點G，連接EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，

則EG=EF、∠1=∠3、EQ=QG、EF=EG=2EQ，

∴∠GEP=2∠1，

∵PE=PH，

∴∠1=∠2，

∴∠4=∠1+∠2=2∠1，

∴∠GEP=∠4，

∴△EPQ≌△PHN，

∴EQ=PN，

由(1)知PH=3k、HC=4k、PC=5k，

∴sinC= 、cosC= ，

∴NC= k、HN= k，

∴PN=PCNC= k，

∴EF=EG=2EQ=2PN= k，EH= ，

∴，

故線段EH和EF的比值為定值．