Question

【題目】如圖，∠MAN=90°，點C在邊AM上，AC=4，點B為邊AN上一動點，連接BC，△A′BC與△ABC關于BC所在直線對稱，點D，E分別為AC，BC的中點，連接DE并延長交A′B所在直線于點F，連接A′E．當△A′EF為直角三角形時，AB的長為_____．

Answer 1

【答案】或4

【解析】當△A′EF為直角三角形時，存在兩種情況：

①當∠A'EF=90°時，如圖1，根據(jù)對稱的性質和平行線可得：A'C=A'E=4，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的長；

②當∠A'FE=90°時，如圖2，證明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．

當△A′EF為直角三角形時，存在兩種情況：

①當∠A'EF=90°時，如圖1，

.

∵△A′BC與△ABC關于BC所在直線對稱，

∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，

∵點D，E分別為AC，BC的中點，

∴D、E是△ABC的中位線，

∴DE∥AB，

∴∠CDE=∠MAN=90°，

∴∠CDE=∠A'EF，

∴AC∥A'E，

∴∠ACB=∠A'EC，

∴∠A'CB=∠A'EC，

∴A'C=A'E=4，

Rt△A'CB中，∵E是斜邊BC的中點，

∴BC=2A'E=8，

由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，

∴AB=；

②當∠A'FE=90°時，如圖2，

.

∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，

∴∠ABF=90°，

∵△A′BC與△ABC關于BC所在直線對稱，

∴∠ABC=∠CBA'=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC=4；.

綜上所述，AB的長為4或4；

故答案為：4或4.