Question

【題目】已知直線y=kx+6（k＜0）分別交x軸、y軸于A、B兩點，線段OA上有一動點P由原點O向點A運動，速度為每秒2個單位長度，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，設運動時間為t秒．

（1）當k=-1時，線段OA上另有一動點Q由點A向點O運動，它與點P以相同速度同時出發(fā)，當點P到達點A時兩點同時停止運動（如圖1）．

①直接寫出t=1秒時C、Q兩點的坐標；

②若以Q、C、A為頂點的三角形與△AOB相似，求t的值．

（2）當k=-時，設以C為頂點的拋物線y=（x+m）2+n與直線AB的另一交點為D（如圖2），①求CD的長；②設△COD的OC邊上的高為h，當t為何值時，h的值最大？

Answer 1

【答案】(1) ①C（2，4）；Q（4，0）；②1.5秒或2秒；(2)①CD=；②當t為秒時，h的值最大．

【解析】

（1）①求出函數解析式，求出A、B的坐標，當t=1，求出OP=2，AQ=2，從而得到C，Q的解析式；

②由題意得，P（2t，0），C（2t，-2t+6），Q（6-2t，0），分兩種情況討論：情形一：當△AQC∽△AOB時，∠AQC=∠AOB=90°；情形二：當△ACQ∽△AOB時，∠ACQ=∠AOB=90°．

（2）①由題意得：C（2t，-t+6），根據△DEC∽△AOB，得到，求出CD的長；

②S△COD為定值，要使OC邊上的高h的值最大，只要OC最短，當OC⊥AB時，OC最短，此時OC的長為，判斷出Rt△PCO∽Rt△OAB，得到，解答即可．

（1）當k=-1時，直線為y=-x+6，可知，A（6，0），B（0，6），

①t=1時，OP=2，得C（2，4）；AQ=2，得Q（4，0）．

②由題意得，P（2t，0），C（2t，-2t+6），Q（6-2t，0），

分兩種情況討論：情形一：當△AQC∽△AOB時，∠AQC=∠AOB=90°，

∴CQ⊥OA，

∵CP⊥OA，

∴點P與點Q重合，OQ=OP，即6-2t=2t，

∴t=1.5．

情形二：當△ACQ∽△AOB時，∠ACQ=∠AOB=90°，

∵OA=OB=6，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴△ACO也是等腰直角三角形，

∵CP⊥OA，

∴AQ=2CP，即2t=2（-2t+6），

∴t=2，

∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒．

（2）①由題意得：C（2t，-t+6），

∴以C為頂點的拋物線解析式是y=（x-2t）2-t+6，

由（x-2t）2-t+6=-x+6，

解得x1=2t，x2=2t-，

過點D作DE⊥CP于點E，則∠DEC=∠AOB=90°

∵DE∥OA，

∴∠EDC=∠OAB，

∴△DEC∽△AOB，

∴，

∵AO=8，AB=10，

∵AO=8，AB=10，

DE=2t-（2t-）=，

∴

②∵CD=，

CD邊上的高=，

∴S△COD=，

∴S△COD為定值，要使OC邊上的高h的值最大，只要OC最短，當OC⊥AB時，OC最短，此時OC的長為，∠BCO=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，

又∵CP⊥OA，

∴Rt△PCO∽Rt△OAB．

∴，

，

2t=，

∴t=，

∴當t為秒時，h的值最大．