Question

已知：如圖，等邊△ABC的邊長是4，D是邊BC上的一個動點（與點B、C不重合），連接AD，作AD的垂直平分線分別與邊AB、AC交于點E、F．
（1）求△BDE和△DCF的周長和；
（2）設CD長為x，△BDE的周長為y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）當△BDE是直角三角形時，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得DE=AB，DF=AF，然后得出△BDE和△DCF的周長和等于△ABC的周長，從而得解；
（2）先用CD表示出BD，然后再利用線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得到AE=DE，所以△BDE的周長等于AB+BD，整理即可；
（3）因為直角三角形的直角不明確，所以分①當∠BED=90°時，②當∠EDB=90°時，分別用BD表示出BE、DE的長度，然后利用BE+DE=AB列式求解即可．

解答：解：（1）∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF．（1分）
∴C_△BDE+C_△CDF=BE+BD+DE+CD+DF+CF=BC+AC+AB．（1分）
∵BC=AC=AB=4，
∴C_△BDE+C_△CDF=12．（1分）

（2）∵CD=x，BC=4，
∴BD=4-x．（1分）
∵DE=AE，
∴C_△BDE=AB+BD，
即y=4+4-x=8-x，
所以，y=8-x．（1分）
定義域為0＜x＜4．（1分）

（3）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°．
①當∠BED=90°時，∠BDE=30°，
∴BE=

1

2

BD=

1

2

（4-x），DE=

3

2

（4-x），
∵BE+DE=4，
∴

1

2

（4-x）+

3

2

（4-x）=4，
解得x=8-4

3

．（1分）
②當∠EDB=90°時，∠BED=30°，
∴BE=2BD=2（4-x），DE=

3

（4-x），
∵BE+DE=4，
∴2（4-x）+

3

（4-x）=4，
解得x=4

3

-4．（1分）
綜上所述，當△BDE是直角三角形時，CD的長為8-4

3

或4

3

-4．（1分）

點評：本題考查了等邊三角形的性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，有一定綜合性，（3）注意要分情況討論，避免漏解．