Question

【題目】已知：△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=4，D、F分別為AB、AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D分別作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，那么FG的最小值為（）

A.2B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接CD，利用90°圓周角所對(duì)的弦是直徑可得點(diǎn)D，G，C，F四點(diǎn)共圓，且CD是圓的直徑，當(dāng)FG⊥CD時(shí)，FG最小，利用垂徑定理可得CD平分∠ACB，然后設(shè)DG=BG=x，則CG=4-x，然后利用三角函數(shù)求得x的值，從而求得GF的長(zhǎng)度．

解：如圖，連接CD．

由題意可知：∠DGC=∠DFC=90°

∴點(diǎn)D，G，C，F四點(diǎn)共圓，且CD是圓的直徑，

當(dāng)FG⊥CD時(shí)，FG最小，

∵FG⊥CD

∴直徑CD垂直平分FG

又∵∠ACB=60°

△ABC為等邊三角形

∴GF=CG

∵∠B=45°，∠DGC =90°

∴設(shè)DG=BG=x，則CG=4-x，

在Rt△DCG中，∠GCD=30°

∴，即

解得：

∴GF=GC=4-x=

故選：C．