Question

若等式(x＋1)(x－m)(x－n)＝x(x＋2)·(x＋p)－5對(duì)任意的x均成立，其中m、n、p為常數(shù)，求mn－p的值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(x＋1)(x－m)(x－n) 　�。�(x2－mx＋x－m)(x－n) 　　＝x3－mx2＋x2－mx－nx2＋mnx－nx＋mn 　�。絰3＋(1－m－n)x2＋(mn－m－n)x＋mn 　　而x(x＋2)(x＋p)－5 　�。�(x2＋2x)(x＋p)－5 　　＝x3＋2x2＋px2＋2px－5＝x3＋(2＋p)x2＋2px－5 　　∵(x＋1)(x－m)(x－n)＝x(x＋2)(x＋p)－5，對(duì)任意x均成立． 　　∴ 　�、鄞�入②得5＋m＋n＝－2p　　　　④ 　�、伲�④得p＝－4 　　∴mn－p＝－5＋4＝－1 　　解法二：∵(x＋1)(x－m)(x－n)＝x(x＋2)(x＋p)－5對(duì)任意x均成立． 　　∴令x＝0代入得mn＝－5 　　令x＝－1代入得0＝－1(p－1)－5 　　∴p＝－4，∴mn－p＝－5＋4＝－1 　　說(shuō)明：anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝0若對(duì)任意x都成立，即不論x取何值它都等于零，當(dāng)且僅當(dāng)an＝an－1＝…＝a1＝a0＝0，這就是多項(xiàng)式恒等定理；采用觀察賦值法求值，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，優(yōu)化了你的思維，是以后學(xué)習(xí)中常采用的方法．

提示：

提示：對(duì)于任意的x等式(x＋1)(x－m)(x－n)＝x(x＋2)(x＋p)－5都成立．所以可通過(guò)左、右兩邊展開(kāi)，然后比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)而求解．也可以根據(jù)要求式的特征有選擇地取x的一些值代入，要求mn，觀察等式特點(diǎn)令x＝0代入得mn＝－5；而要求p可令x＝－1代入得0＝－1×(－1＋p)－5可得p＝－4，從而求解．