Question

【題目】（題文）(1)閱讀理解：

如圖1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，連接BE(或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD，把AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_________；

(2)問題解決：

如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證BE＋CF＞EF.

Answer 1

【答案】（1）2<AD<8（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）延長AD到E，使AD=DE，連接BE，△ADC≌△EDB，推出EB=AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出即可；
（2）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，從而得出BG=CF；再利用全等的性質(zhì)可得GD=FD，BG=CF，再有DE⊥DF，從而得出EG=EF，兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF>EF.

試題解析：(1)延長AD到E，使AD=DE，連接BE，

∵AD是△ABC的中線，

∴BD=CD，

在△ADC與△EDB中,

∴△ADC≌△EDB(SAS)，

∴EB=AC，

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：ABAC<AE<AC+AB，

∴4<AE<16，

∵AE=2AD

∴2<AD<8，

即：BC邊上的中線AD的取值范圍2<AD<8；

故答案為：2<AD<8.

(2)BE+CF>EF.

理由：如圖2，

過點(diǎn)B作交FD的延長線于G，

∴∠DBG=∠DCF.

∵D為BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD

又∵∠BDG=∠CDF，

在△BGD與△CFD中,

∴△BGD≌△CFD(ASA).

∴GD=FD，BG=CF.

又∵DE⊥DF，

∴EG=EF(垂直平分線到線段端點(diǎn)的距離相等).

∴在△EBG中，BE+BG>EG，

即BE+CF>EF.