分析 (1)先計算判別式的值,再進行配方得到△=(3m+1)2,然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得4(3m+2)−9(m+1)24=0,然后解方程即可得到m的值;
(3)先利用公式法解方程x2-3(m+1)x+3m+2=0得x1=3m+2,x2=1,根據(jù)拋物線與x軸的交點問題得到A(3m+2,0),B(1,0),根據(jù)題意得到|3m+2|+1=5,然后解絕對值方程即可得到m的值.
解答 (1)證明:△=9(m+1)2-4(3m+2)
=9m2+6m+1
=(3m+1)2,
∵(3m+1)2≥0,即△≥0,
∴無論m為何值時,方程總有兩個實數(shù)根;
(2)解:4(3m+2)−9(m+1)24=0,
解得m=-13;
(3)解:解方程x2-3(m+1)x+3m+2=0得x=3(m+1)±(3m+1)2,
所以x1=3m+2,x2=1,
∵拋物線y=x2-3(m+1)x+3m+2與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0),
∴A(3m+2,0),B(1,0),
而OA+OB=5,
∴|3m+2|+1=5,
∴m=23或m=-2.
點評 本題考查了拋物線與x軸的交點:把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了根的判別式的意義和二次函數(shù)的性質(zhì).
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