Question

9．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，BC為直徑，動點D在⊙O上（與點A、B不重合），點E在弦BD上，直線AE交直徑BC于點F，且∠AEB=∠BAD．
（1）如圖1，求證：AF⊥BC；
（2）如圖2，連接CD，當點D、A位于直徑BC的兩側(cè)時，若∠CAD+∠CAE=∠ACB，求證：BF=CD+CF；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DF，設(shè)AD、BC相交于點G，若sin∠CAD=$\frac{1}{4}$，F(xiàn)G=$\frac{5}{3}$，求線段DF的長．

Answer 1

分析 （1）由BC為直徑，∠AEB=∠BAD，易證得∠D=∠BAF，又由∠C=∠D，可得∠BAF=∠C，即可得∠AFB=90°，證得AF⊥BC；
（2）首先在BC上截取BH=CD，連接AH，由∠CAD+∠CAE=∠ACB，可證得∠ABD=∠ADB，即可證得AB=AD，繼而證得△ABH≌△ADC（SAS），則可得AH=AC，證得結(jié)論；
（3）首先連接OA，過D作DL⊥OC于點L，易證得△AGO∽△DGC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得$\frac{CD}{OA}$=$\frac{CG}{OG}$，又由BC是⊙O的直徑，可得∠BDC=90°，即可知sin∠CAD=sin∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{4}$，然后設(shè)CD=x，則BC=4x，可得方程$\frac{\frac{3}{2}x-\frac{5}{3}}{\frac{1}{2}x+\frac{5}{3}}$=$\frac{x}{2x}$，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∵∠AEB=∠D+∠DAF，∠BAD=∠BAF+∠DAF，∠AEB=∠BAD，
∴∠D+∠DAF=∠BAF+∠DAF，
∴∠D=∠BAF，
∵∠D=∠C，
∴∠BAF=∠C，
∴∠BAF+∠ABC=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BC；

（2）如圖2，在BC上截取BH=CD，連接AH，
∵∠CAE+∠BAE=90°，∠ABC+∠BAE=90°，
∴∠CAE=∠ABC，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠ACB=∠CAE+∠CAD=∠ABC+∠CBD=∠ABD，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
在△ABH和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=CD}\\{∠ABH=∠ADC}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ADC（SAS），
∴AC=AH，
∵AF⊥BC，
∴CF=HF，
∴BF=BH+HF=CD+CF；

（3）如圖3，連接OA，過D作DL⊥OC于點L，
由（2）可知AB=AD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ABD=∠ACB，
∵∠ABD+∠ACD=180°，
∴∠ACB+∠ACB+∠BCD=180°，即2∠ACB+∠BCD=180°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACB，
∴∠AOC+2∠ACB=180°，
∴∠AOC=∠BCD，
∴OA∥CD，
∴△AGO∽△DGC，
∴$\frac{CD}{OA}$=$\frac{CG}{OG}$，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴sin∠CAD=sin∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
設(shè)CD=x，則BC=4x，
∴OC=OA=2x，
∵∠AOC+∠OAF=90°，∠DBC+∠BCD=90°，
∴∠OAF=∠DBC，
∴sin∠OAF=$\frac{OF}{OA}$=$\frac{1}{4}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$x
∴OG=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{3}$，CG=2x-（$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{3}$）=$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}x-\frac{5}{3}}{\frac{1}{2}x+\frac{5}{3}}$=$\frac{x}{2x}$，
解得x=2，
∴CG=$\frac{4}{3}$，
∴FL=$\frac{4}{3}$+$\frac{5}{3}$=3
∵∠CDL+∠LDB=90°，∠LDB+∠DBC=90°，
∴∠CDL=∠DBC
∴sin∠CDL=$\frac{CL}{CD}$=$\frac{1}{4}$，
∴CL=$\frac{1}{2}$，
∴FL=$\frac{5}{2}$，
∴DL²=$\frac{15}{4}$，F(xiàn)L²=$\frac{25}{4}$，
∴DF=$\sqrt{10}$．

點評 此題屬于圓的綜合題．考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的知識．注意準確作出輔助線、掌握方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．