Question

16．如圖，已知正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)O、M、N、A、B、C都是小正方形的頂點(diǎn)．
（1）記向量$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow b$，試在該網(wǎng)格中作向量$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow a-2\overrightarrow b$．計(jì)算：$|{\overrightarrow{BD}}|$=2$\sqrt{2}$；
（2）聯(lián)結(jié)AD，求證：△ABC∽△DAB；
（3）填空：∠ABD=135度；聯(lián)結(jié)CD，比較∠BDC與∠ACB的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形法則作向量$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow a-2\overrightarrow b$，小正方形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度即為所求；
（2）由圖可知△ABC和△DAB各邊的長(zhǎng)，根據(jù)三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例證明相似；
（3）由圖可知∠ABD=90°+45°=135°，借助于相似三角形（△ABD∽△CBA）的性質(zhì)來(lái)計(jì)算．

解答 （1）解：作向量$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow a-2\overrightarrow b$，
$|{\overrightarrow{BD}}|$=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$；

（2）證明：∵$\frac{BC}{AB}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{AB}{BD}=\frac{2}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{AC}{AD}=\frac{{\sqrt{10}}}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{AD}$，
∴△ABC∽△DAB；

（3）解：由圖可知∠ABD=90°+45°=135°，
故答案為：135°；
∵AC=CD=$\sqrt{10}$，
∴∠CAD=∠CDA，
又△ABD∽△CBA，
∴∠ADB=∠CAB，
∴∠CAD-∠CAB=∠CDA-∠ADB，
即∠BAD=∠BDC，
∵∠BAD=∠BCA，
∴∠BDC=∠ACB．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量、相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，算出各線段的長(zhǎng)度是解答此題的關(guān)鍵．