Question

【題目】如圖，拋物線與x軸相交于兩點，（點A在B點左側）與y軸交于點C.

（Ⅰ）求兩點坐標.

（Ⅱ）連結，若點P在第一象限的拋物線上，P的橫坐標為t，四邊形的面積為S.試用含t的式子表示S，并求t為何值時，S最大.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的基礎上，若點分別為拋物線及其對稱軸上的點，點G的橫坐標為m，點H的縱坐標為n，且使得以四點構成的四邊形為平行四邊形，求滿足條件的的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）,當時，；（Ⅲ）滿足條件的點的值為：，或，或

【解析】

（Ⅰ）令y=0，建立方程求解即可得出結論；
（Ⅱ）設出點P的坐標，利用S=S△AOC+S梯形OCPQ+S△PQB，即可得出結論；
（Ⅲ）分三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)對角線互相平分和中點坐標公式建立方程組即可得出結論．

解：（Ⅰ）拋物線，

令，則，

解得：或，

∴

（Ⅱ）由拋物線，令，∴，∴，

如圖1，點P作軸于Q，

∵P的橫坐標為t，∴設，

∴

∴

，

∴當時，；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

∴，

∵拋物線的對稱軸為，

∴設

以四點構成的四邊形為平行四邊形，，

①當和為對角線時，

∴，

∴，

②當和是對角線時，

∴，

∴，

③和為對角線時，

∴，

∴，

即：滿足條件的點的值為：

，或，或