Question

【題目】如圖，點C是線段AB上一點，分別以AC和BC為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△ACD和△BCE，連結(jié)AE和BD，相交于點F.

（1）求證：AE=BD；

（2）如圖2.固定△BCE不動，將等邊△ACD繞點C旋轉(zhuǎn)（△ACD和△BCE不重疊），試問∠AFB的大小是否變化?請說明理由；

（3）在△ACD旋轉(zhuǎn)的過程中，以下結(jié)論：①CG=CH；② GF=HF； ③FC平分分∠GCH；④FC平分∠GFH；一定正確的有 （填寫序號，不要求證明）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（1）∠AFB的大小不變，理由見解析；（3）④

【解析】

(1)由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠BCD，進而利用SAS得出△ACE≌△DCB進而得出答案；

(2)由△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形內(nèi)角和定理得到結(jié)論∠AFB=180°-∠ACD=120°．

(3)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，全等的判定與性質(zhì)以及角平分線判定定理依次判斷.

（1）證明：∵根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECD，
即∠ACE=∠BCD．
在△ACE與△DCB中，

∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；

（2）解：∠AFB的大小不變，理由如下：

∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ADF=∠ADC+∠CDB，
∴∠ADF=∠ADC+∠CAE，
又∵∠AFB=∠FAD+∠ADF，
∴∠AFB=∠FAD+∠ADC+∠CAE，
∴∠AFB=∠DAC+∠ADC.
又∵∠DAC+∠ADC+∠ACD=180°，
∴∠DAC+∠ADC=180°-∠ACD，
∴∠AFB=180°-∠ACD，
∵∠ACD=60°，
∴∠AFB=120°.

所以∠AFB的大小不變.

（3）①②③在圖1特殊情況下才成立，不一定正確；

④如圖，過C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，

∵△ACE≌△DCB，

∴BD=CE, S△ACE=S△DCB.
∴△BCD中BD邊上的高與△ACE中AE邊上的高對應(yīng)相等，
即CM=CN，
∴點C在∠AFB的角平分線上，
即FC平分∠GFH，故④正確.