Question

7．如圖1，△ABC為等邊三角形，△ADE是△ABC的位似圖形，位似比為k：1，點D在AB上，點E在AC上．

（1）證明：DE∥BC；
（2）將△ADE繞點A旋轉α至△AMN的位置．
①如圖2，當AM⊥BC時，請你判斷AC與MN的位置關系，并說明理由；
②若四邊形AMCN為菱形，如圖3，求旋轉角α及k的值；
③如圖4，當直線MN過點B時，求k與旋轉角α（0°＜α＜60°）之間的關系式．

Answer 1

分析 （1）根據兩個圖形必須是相似形得到∠ADE=∠B，根據平行線的性質證明即可；
（2）①延長AM交BC于D，根據等腰三角形三線合一得到∠DAC=30°，求出∠AFM=90°，得到答案；②由四邊形AMCN為菱形，得到AC平分∠MAN，∠MAC=30°，于是得到∠BAM=30°，根據四邊形AMCN為菱形，得到AF=$\frac{1}{2}$AC，AC⊥MN，解直角三角形得到AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM，$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM=$\frac{1}{2}$AC，AC=$\sqrt{3}$AM，由于△ABC為等邊三角形，得到AC=AB，求得AB=$\sqrt{3}$AM根據相似三角形的性質得到$\frac{AM}{AB}=\frac{k}{1}$，即可得到結論；③如圖4，過A作AH⊥MN于H，由于△AMN是等邊三角形，同時代的AH=AM•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM，根據三角函數的定義即可得到結論．

解答 （1）證明：∵△ADE是△ABC的位似圖形，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC；

（2）①AC⊥MN，
證明：如圖2，延長AM交BC于D，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠DAC=30°，又∠AMN=60°，
∴∠AFM=90°，即AC⊥MN；
②∵四邊形AMCN為菱形，
∴AC平分∠MAN，∠MAC=30°，
∴∠BAM=30°，
∴α=30°，
∵四邊形AMCN為菱形，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC，AC⊥MN，
在Rt△△AFM中，cos30°=$\frac{AF}{AM}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM=$\frac{1}{2}$AC，AC=$\sqrt{3}$AM，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=AB，
∴AB=$\sqrt{3}$AM，
∵△ADE是△ABC的位似圖形，位似比為k：1，
∴△AMN∽△ABC，位似比為k：1，$\frac{AM}{AB}=\frac{k}{1}$，AM=kAB，
∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
③如圖4，過A作AH⊥MN于H，
∵△AMN是等邊三角形，
∴AH=AM•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM，
在Rt△AHB中，∠BAH=α+30°，
∴cos∠BAH=cos（α+30°）=$\frac{AH}{AB}$，
∴AH=AB•cos（α+30°），AB•cos（α+30°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM，
由②得：AM=kAB，
∴cos（α+30°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k．

點評 本題考查的是位似變換的性質、旋轉變換以及等邊三角形的性質，掌握兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形是解題的關鍵．