Question

18．一帶閥門的圓柱形容器，底面積是200cm²，內(nèi)裝有12cm深的水，當把邊長為10cm重20N的正方體M用細繩懸掛放入水中時，有$\frac{1}{5}$的體積露出水面，如圖所示，試求：
（1）正方體M的密度；
（2）正方體M受到的浮力；
（3）此時水對容器底部的壓力；
（4）若從圖示狀態(tài)開始，通過閥門K緩慢放水，當容器中水面下降了2cm時，細繩剛好被拉斷，則細繩能承受的最大拉力是多少？（g取10N/Kg，水的密度為1.0×10³Kg/m³）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方體M邊長為10cm，可求其體積大小，利用密度公式ρ=$\frac{m}{V}$求密度．
（2）由于用細繩懸掛放入水中，有$\frac{1}{5}$的體積露出水面，求出V_排，利用F_浮=ρ_水gV_排即可求出M受到的浮力；
（3）求出正方體M浸入水中后液面的總高度，利用p=ρgh計算壓強，然后利用p=$\frac{F}{S}$計算此時水對容器底部的壓力；
（4）根據(jù)容器的底面積和水面下降2cm時正方體M浸入水中的體積，利用F_浮=ρ_水gV_排即可求出此時M受到的浮力；由正方體重力和浮力即可求出細繩所能承受的最大拉力．

解答 解：（1）正方體M的質(zhì)量m_M=$\frac{{G}_{M}}{g}$=$\frac{20N}{10N/kg}$=2kg，
體積為V_M=L³=（10cm）³=1000cm³=1×10^-3m³，
所以，密度ρ_M=$\frac{{m}_{M}}{{V}_{M}}$=$\frac{2kg}{1×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=2×10³kg/m³；
（2）由于用細繩懸掛放入水中，有$\frac{1}{5}$的體積露出水面，則：
V_排1=（1-$\frac{1}{5}$）V_M=$\frac{4}{5}$×1×10^-3m³=8×10^-4m³，
受到的浮力為：
F_浮1=ρ_水gV_排1=1.0×10³kg/m³×10N/kg×8×10^-4m³=8N；
（3）設M放入水中后水深為h′，則有Sh′=Sh+V_排1，
則h′=h+$\frac{{V}_{排1}}{S}$=0.12m+$\frac{8×1{0}^{-4}{m}^{3}}{200×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=0.16m．
此時水對容器底部的壓強：
p=ρ_水gH′=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.16m=1.6×10³Pa．
根據(jù)p=$\frac{F}{S}$可得此時水對容器底部的壓力：
F=pS=1.6×10³Pa×200×10^-4m²=32N；
（4）原來石塊M浸入水中深度為h₁=（1-$\frac{1}{5}$）L=$\frac{4}{5}$×10cm=8cm，
水面下降2cm時正方體M浸入水中深度為h₂=h₁-2cm=8cm-2cm=6cm，
則V_排2=h₂L²=6cm×（10cm）²=600cm³=6×10^-4m³，
F_浮2=ρ_水gV_排2=1.0×10³kg/m³×10N/kg×6×10^-4m³=6N；
當繩子剛被拉斷時有：F_m+F_浮2=G，
所以細繩能承受的最大拉力F_max=G-F_浮′=20N-6N=14N．
答：（1）正方體M的密度為2×10³kg/m³；
（2）正方體M受到的浮力為8N；
（3）此時水對容器底部的壓力為32N；
（4）當容器中水面下降了2cm時，細繩剛好被拉斷，細繩能承受的最大拉力是14N．

點評 此題綜合性很強，且難度很大；此題的難點在（3）算出繩子斷的臨界拉力，增加的拉力就是排出水的重力，根據(jù)F_浮=ρ_水gL²h可求出此時A浸入水中深度，然后問題可解．