Question

12．現(xiàn)有一質(zhì)地均勻密度為 ρ0的實(shí)心圓柱體，底面積為S₀、高為h₀，將其中間挖去底面積為$\frac{{S}_{0}}{2}$的小圓柱體，使其成為空心管，如圖1所示．先用硬塑料片將空心管底端管口密封（硬塑料片的體積和質(zhì)量均不計），再將其底端向下豎直放在底面積為S的柱形平底容器底部，如圖2所示．然后沿容器內(nèi)壁緩慢注入密度為ρ的液體，在注入液體的過程中空心管始終保持豎直狀態(tài)．
（1）當(dāng)注入一定量的液體時，空心管對容器底的壓力剛好為零，且空心管尚有部分露在液面外，求此時容器中液體的深度．
（2）去掉塑料片后，空心管仍豎直立在容器底部，管外液體可以進(jìn)入管內(nèi)，繼續(xù)向容器中注入該液體．若使空心管對容器底的壓力最小，注入液體的總質(zhì)量最小是多少？

Answer 1

分析 （1）空心管對容器底的壓力剛好為零，此時空心管處于漂浮狀態(tài)，浮力等于重力，據(jù)此列出等式解出液體的深度；
（2）此題應(yīng)分兩種情況分析：
若管的密度大于液體的密度，若使空心管對容器底的壓力最小，即浮力最大，此時空心管應(yīng)恰好完全浸沒，即液體的深度等于管的高度，進(jìn)而求出液體的質(zhì)量；
若管的密度小于液體的密度，若使空心管對容器底的壓力最小，此時空心管處于漂浮狀態(tài)，浮力等于其重力，列出等式，解出液體深度，進(jìn)而求出液體質(zhì)量．

解答 解：（1）空心管對容器底的壓力剛好為零，此時空心管處于漂浮狀態(tài)，浮力等于重力，
設(shè)注入液體的深度為h₁，
浮力F_浮=ρgS₀h₁，
空心管的重力G=mg=ρ₀gh₀（S₀-$\frac{{S}_{0}}{2}$），
即ρgS₀h₁=ρ₀gh₀（S₀-$\frac{{S}_{0}}{2}$），
解得液體的深度h₁=$\frac{{ρ}_{0}{h}_{0}}{2ρ}$；
（2）若管的密度大于液體的密度，設(shè)液體深度為h₂，若使空心管對容器底的壓力最小，即浮力最大，此時空心管應(yīng)恰好完全浸沒，即液體的深度等于管的高度，h₂=h₀，所以液體的質(zhì)量m₂=ρ（S-$\frac{{S}_{0}}{2}$）h₀=$\frac{1}{2}$ρh₀（2S-S₀）；
若管的密度小于液體的密度，設(shè)液體深度為h₃，若使空心管對容器底的壓力最小，此時空心管處于漂浮狀態(tài)，浮力等于其重力，
浮力F_浮=ρg$\frac{1}{2}$S₀h₃，
空心管的重力G=mg=ρ₀gh₀（S₀-$\frac{{S}_{0}}{2}$），
即ρg$\frac{1}{2}$S₀h₃=ρ₀gh₀（S₀-$\frac{{S}_{0}}{2}$），
解得液體的深度h₃=$\frac{{ρ}_{0}{h}_{0}}{ρ}$，
液體的質(zhì)量m₃=ρ（S-$\frac{{S}_{0}}{2}$）$\frac{{ρ}_{0}{h}_{0}}{ρ}$=$\frac{1}{2}$ρ₀h₀（2S-S₀）．
答：（1）此時容器中液體的深度$\frac{{ρ}_{0}{h}_{0}}{2ρ}$；
（2）若管的密度大于液體的密度，注入液體的總質(zhì)量最小是$\frac{1}{2}$ρh₀（2S-S₀）；
若管的密度小于液體的密度，注入液體的總質(zhì)量最小是$\frac{1}{2}$ρ₀h₀（2S-S₀）．

點(diǎn)評 此題主要考查的是學(xué)生對浮力、重力計算公式和二力平衡知識的理解和掌握，第二問中分開討論是此題的難點(diǎn)，難度很大．